Программируемая логика и ЦОС

Это смотря, что понимать под словом "всё". Здесь (как и у прочих ортогональных полиномов), каждый следующий по рангу/степени совершает большее число колебаний на отрезке. Разница с Фурье только та, что "периоды" здесь не одинаковые, как гармоники, хотя и очень похожи. С увеличением степени это сходство проявляется всё сильнее, а базисы высших степеней выглядит точь-в-точь как синусоиды - разницу можно заметить лишь на самых краях. Поэтому для полиномов такого рода справедливо почти все, что известно в отношении частотной фильтрации через FFT. Т.е. здесь отбрасывание высших базисов полностью эквивалентно отсечке высокочастотных составляющих. Да и саму эту отсечку можно интерпретировать, как отбрасывание/обнуление из разложения по Фурье-базису коэффициентов у старших/высокочастотных базисов. Скажем, всем известное сжатие картинок форматом JPEG как раз и представляет тобой неполное Фурье-представление квадратиков 8х8, в котором высшие частотные составляющие урезаны. И с практической точки зрения отличия от применения дискретного преобразования Фурье тут нет - разница только в том, что здесь для генерации матрицы базисов используется рекурсивное построение полиномов, а там тригонометрические функции sin и cos. Тогда как алгоритму аппроксимации совершенно все равно, поскольку трудность умножения на матрицу базисов никак не зависит от ее содержимого. Поэтому задача, ради которой гармонический базис заменятся на полиномиальный только одна - добиться того, чтобы базисы ЗАТУХАЛИ к краям интервала, но при этом не потеряли взаимной ортогональности. Я бы еще с большим интересом отнеслась к вариантам масштабированного Фурье-базиса, где бы на амплитуду базисных гармоник была наложена "модуляция", ниспадающая к краям интервала. Вот только до сих пор никак не найду такого варианта, чтобы после такой коррекции элементы базиса не потеряли взаимной ортогональности. Тогда как среди полиномов такой вариант мне удалось найти в лице полиномов Эрмита и Гегебауэра (пока).