По-моему у тебя каша в голове. "Телега" -- это в первую очередь
отдельная программа, которая по своему протоколу что-то получает.
Вместо "Телеги" с таким же успехом можно просто свою программу
использовать. И не обязательно MQTT или что-то ещё -- протокол
может быть тоже свой, и все сервера свои. Довод против аппликации я
привёл, не говоря уж о том, что ОС разные, под все не напишешь. А
браузер есть у всех. И там push работает через сторонний сервер (у
каждого браузера обычно свой...), который поллится браузером. Так браузер работает только с одним сервером, а не 100500 разных аппликаций постоянно крутятся и поллят 100500 разных серверов (и едят батарейку).
Я был бы рад, если бы кто добавил ссылку на толковое описание (html5 push notifications). Мне не найти.