Сомнительно, что Гамильтон "не смог понять что это за чертовщина"
:) Он этим занялся чтобы расширить поле комплексных чисел и должен
был знать об этом с самого начла почему надо делить на 2.
Аналогия с комплексными числами:
Для комплексных чисел:

Это поворот на угол 𝜃 θ в 2D.
Для кватернионов аналогично:

Но из-за того, что в 3D поворот требует двойного применения (через сопряжение), угол нужно делить на 2.